Frases/Pensamentos

EDUCAÇÃO NÃO PODE SER DELEGADO À ESCOLA. ALUNO É TRANSITÓRIO. FILHO É PARA SEMPRE. IÇAMI TIBA.

E.M. Maria das Graças

Textos para estudo

PORTFÓLIO
Algumas definições:
- Documento estruturado em que alunos estagiários descrevem e procuram analisar experiências significativas que tenham tido antes e durante a formação, que pode incluir um registro biográfico das experiências como estudantes, registros escritos de suas experiências em diferentes cursos, diário de acontecimentos significativos etc..(Marcelo, 1998,p.59)
- Um portfófio é muito mais que um arquivo cheio de coisas. É uma coleção sistemática e organizada de evidências usadas pelos docentes e alunos para acompanhar o desenvolvimento cognitivo, psicomotor e afetivo do aluno numa área específica.(Vaurus,1990,apud Daníelson e Abrutyn.1997).
- É, caracteristícamente, uma compilação de vários trabalhos produzidos e colecionados durante a experiência universitária do estudante, juntamente com ensaios auto-reflexivos escritos especialmente para o portfólio. Os trabalhos são usados para demonstrar habilidades específicas, competências e valores que sejam consistentes com as metas e objetivos do programa e da universídade.(Dey e Fenty,1997).

Podemos adaptar uma definição para a Educação:
-Documento estruturado, sistematizado e organizado que tem como objetivo registrar atividades significativas, por meio das quais o professor acompanhará o desenvolvimento cognitivo, emocional, psicomotor do aluno.
É necessário acrescentar que o portfólio também é um instrumento de avaliação para o professor, pois o mesmo oferece a oportunidade de reflexão de suas ações, permitindo uma intervenção mais eficiente em sua prática.
Assim, poderão ser contemplados os trabalhos de alunos em diferentes estágios ou níveis (desde o aluno que está acompanhando muito bem até aquele que apresenta muitas dificuldades).

Como elaborar um portfólio?
A elaboração de um portfólio é um momento de auto- avaliação e reflexão que permite desenvolver habilidades para avaliar o seu próprio trabalho e suas experiências . E todas as informações devem ser seguidas de análises e comentários.
Um portfólio deve conter alguns elementos como: nome da instituição, nome do professor, sumário (a ordem que se encontra o trabalho); introdução (é uma justificativa, nela você explica o que é o trabalho.a sua importância...); desenvolvimento (as ações em si) e conclusão (é a parte onde deve-se fazer as considerações finais com relação ao portfólio).
É considerado um documento dinâmico, está sempre num processo de mudanças e aperfeiçoamentos, portanto deve ser atualizado com freqüência, sempre que se justifique.

PORTFÓLIO DO ALUNO
O portfólio do aluno deve conter:
• Atividades que sejam relevantes, permitindo ao professor acompanhar o processo de aquisição da aprendizagem do aluno.
• Comanda bem clara da atividade.
• Data em que foi realizada a atividade.
• Dificuldades apresentadas pelo aluno.
• Encaminhamentos que serão dados para que o aluno avance.

O portfólio do aluno não precisa necessariamente ser todo decorado, enfeitado, com estrelinhas e tudo mais, basta apenas ter as informações necessárias que possibilitem ao professor e a equipe escolar visualizarem os avanços e necessidades de cada aluno.


(elaboração e colaboração dos Atps : Jacob e Vitória

Jogos

Trilha

Os próprios alunos criam um tabuleiro, com os obstáculos e a história. O jogo ensina seqüência numérica, ordem crescente e decrescente, contagem e quantificação.
Bingo

Nas cartelas tradicionais, o aluno aprende a ler os números. Durante o sorteio, o professor pode anunciar os números de forma diferenciada, falando sobre dezenas, unidades,antecessores e sucessores, ou exigindo algum tipo de operação para a descoberta do numero sorteado.
Batalha Dupla

Cada aluno retira duas cartas de um baralho tradicional. Elas devem ser somadas ou subtraídas, conforme a orientação do professor. Quem tiver o maior resultado ganha a carta do colega.
Vence o jogo quem tiver mais pontos, somados no final da competição.
Atrás da Orelha

O jogo tem dois jogadores e um juiz. Os jogadores retiram uma carta do baralho, sem ver qual é o seu número. A carta deve ser colocada atrás da orelha para que apenas o outro jogador veja seu número. Cabe ao juiz dizer qual o resultado da soma ou da subtração das duas cartas. Para vencer, o jogador vê a carta do colega e precisa raciocinar para descobrir qual é a sua.
Poliminó

É uma espécie de quebra-cabeça formado por várias figuras geométricas, criadas á partir de monominós, que são unidades-padrão. Para montar o poliminó, o aluno precisa pensar no conceito de área
e perímetro de uma figura plana.
Torre de Hanói

Jogo milenar que utiliza um tabuleiro de madeira, com pequenas torres e aros de diversos
tamanhos. Para vencer o desafio - que pode ser o tempo gasto para colocar aros em determina ordem nas torres - o aluno faz estimativas e raciocina sobre múltiplos, potências e equações.
O jogo serve também para organizar o pensamento.
Policubos

O jogo é semelhante ao poliminó, mas o quebra-cabeça é uma espécie de cubo. Nesse jogo, o
aluno estuda o volume das figuras.
Corrida Algébrica

Na corrida algébrica, o aluno vai avançar com seu pino no tabuleiro depois de descobrir qual é o resultado de uma equação. O próprio aluno pode escolher que valor deseja atribuir á variável,
de forma a conseguir o resultado maior.
Tangran

O jogo tem várias peças, com tamanhos variados. O aluno estuda área, polígono, perímetro e
até frações.
Jogo da Estrela

Cada aluno retira um número positivo ou negativo do tabuleiro. Vence quem obter o maior
resultado, depois de fazer a soma dos números escolhidos. Nesse jogo, os estudantes aprendem
a soma dos números negativos e positivos, ordem e conceito de oposto.
Serviço
Laboratório da UFMG
As visitas podem ser agendadas pelo telefone
(31) 349

Textos para estudo

Resolução de Problemas

RESUMO

O motivo da realização deste trabalho foi á constatação da dificuldade que a maioria das crianças tem na vida diária de resolver problemas de matemáticas e a inexistências de material de consulta e apoio, durante o curso que habilita o professor das series iniciais. Os PCN´s preconizam que a educação deve ser pensada como um trabalho de preparação do aluno para a vida como um todo. A tendência atual é pensar a escola como um lugar onde se preparam meninos e meninas para assumir uma parcela de responsabilidade pelo mundo, para conhecer seus direitos para poder participar da construção de uma sociedade melhor. Deste modo nota–se que a missão dos educadores e preparar as novas gerações para o mundo em que terão que viver. Isto quer dizer proporcionar-lhes o ensino necessário para que adquirem as destrezas e habilidades que vão necessitar para seu desempenho, com comodidade e eficácia, no seio da sociedade que enfrentarão ao concluir sua escolaridade. Sugere-se aos professores que procurem de maneira sucinta e objetiva fazer alguns ajustes em suas estratégias de ensino e que busquem trabalhar com material concreto para que consigam atingir o maior possível de alunos que possam sair das series iniciais com uma base sólida na matemática evitando assim futuras perdas de aprendizagem nas series seguintes.

Palavras-chaves: Estratégias de ensino, problemas de adição e subtração

INTRODUÇÃO

A Resolução de Problemas, ao longo da história, vem contribuindo para o desenvolvimento da Matemática. Cabe ressaltar que resolver problemas não modifica apenas a Matemática, mas também aquele que os resolve, isto é, o próprio homem. É ampliando os conhecimentos e sabendo utilizá-los que se faz possível resolver, a cada dia, problemas mais complexos. Prova disso é a rapidez com que os avanços tecnológicos e científicos estão se processando.

Quando nos reportamos especificamente aos problemas matemáticos escolares, constatamos que existem muitos aspectos referentes aos processos de ensino e à aprendizagem da resolução de problemas que merecem ser discutido. Assim, algumas temáticas permeiam este fascículo: o que é um problema matemático, quais os tipos de problemas, o processo de resolução de um problema, tipos de registros e avaliação dos processos de ensino e de aprendizagem na Resolução de Problemas.

Podemos encontrar nas salas de aulas duas perspectivas teóricas diferenciadas em relação à resolução de problemas. Uma delas considera os problemas como mero exercício a ser realizado após a explicação dos conteúdos. Nesta perspectiva, a inserção dos alunos no mundo dos problemas matemáticos escolares tem sido determinada pela seqüência de conteúdos apresentados nos livros didáticos, em que a resolução de Problemas aparece com freqüência após o trabalho desenvolvido com as operações aritméticas. Assim, a resolução de problemas assume o papel de exercitar algoritmos e técnicas de solução.

Neste sentido, a situação-problema não apresenta significado para os alunos nem desperta a curiosidade, a vontade e a necessidade para solucioná-la, na medida em que existem mecanismos que levam de modo imediato à sua solução mediante utilização de procedimentos rotineiros, mecanizados e repetitivos.

A outra perspectiva compreende que a resolução de problemas é a "mola propulsora da matemática", mobiliza conhecimentos, desencadeia a construção de outros e/ou atribui significado às situações matemáticas vivenciadas.

Pode-se considerar que um sujeito está diante de um problema quando toma consciência do mesmo e, movido pela necessidade ou desejo, procura solucioná-lo, tendo para isso que dispor de uma atividade mental intensa no processo de planejamento, execução e avaliação de suas ações. O sujeito resolve um problema quando se depara com uma situação nova que o motive, que o envolva em um processo criativo e reflexivo.

Esta pesquisa visa mostrar de maneira sucinta como a resolução de problemas nas séries iniciais pode contribuir para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da capacidade de interpretação até mesmo em outras disciplinas.

O motivo da realização deste trabalho foi à constatação da inexistência de material de consulta e apoio, tanto durante o curso que habilita o professor das séries iniciais, como depois no seu trabalho diário em sala de aula. Assim julgamos estar contribuindo com aqueles que têm a difícil, mas gratificante tarefa de orientar e coordenar as atividades das crianças, em sua busca de compreensão das primeiras idéias matemáticas.

1CONTEXTO HISTÓRICO SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Para Onuchic (1999) a importância dada à Resolução de Problemas é recente e somente nas últimas décadas é que os educadores matemáticos passaram a aceitar a idéia de que o desenvolvimento da capacidade de se resolver proble­mas merecia mais atenção. A caracterização de Educação Matemática, em termos de Resolução de Problemas, reflete uma tendência de reação a caracterizações passadas como um conjunto de fatos, domínio de procedimentos algorítmicos ou um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício mental. Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os estudantes como participantes ativos, às problemas como ins­trumentos precisos e bem definidos e a atividade na resolução de problemas como uma coordenação complexa simultânea de vários níveis de atividade. O ensino de Resolução de Problemas, enquanto campo de pesquisa em Educação Matemática, começou a ser investigado de forma sistemática sob a influência de Polya, nos Estados Unidos, nos anos 60.

De acordo com Andrade (1998, p. 9)

em nível mundial, as investigações sistemáticas sobre Resolução de problemas e suas implicações curriculares têm início na década de 1970. Embora grande parte da literatura hoje conhecida em Resolução de problemas tenha sido desenvolvida a partir dos anos 76, os trabalhos de George Polya datam de 1944. A partir do final da década de 1960 a metodologia de investigação, utilizando sessões de resolução de problemas em grupo e com os alunos se manifestando em voz alta se tornou prática comum. O período de 1962 a 1972 marcou a transição de uma metodologia de investigação de natureza quantitativa para uma qualitativa.

Andrade (1998, p. 7-8) ainda salienta que

De um modo geral, os estudos em Resolução de Problemas preocuparam-se inicialmente, período anterior a 60, com o desempenho bem-sucedido da obtenção da solução de problemas. Não houve preocupação com o processo. Para desenvolver sua capacidade em resolução de problemas, a criança deveria exercitar-se exaustivamente na solução de uma grande quantidade de problemas do mesmo tipo. O ensino de resolução de problemas limitava-se ao ensino da busca de solução, tipo treino, num esquema cognitivo estímulo-resposta, posteriormente, período 60-80, a preocupação voltou-se para o processo envolvido na resolução do problema e, assim, centrando o ensino no uso de diferentes estratégias.

No fim dos anos 70, a Resolução de Problemas ganhou espaço no mundo inteiro. Começou o movimento a favor do ensino de resolução de problemas. Em 1980 é editada, nos Estados Unidos, uma publicação do NGM - National Council of Teachers of Mathematics - An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of the 1980's, que chamava todos os interessados, pessoas e grupos, para juntos, num esforço cooperativo maçiço, buscar uma melhor educação matemática para todos. A primeira dessas recomendações dizia que

Resolver problemas deve ser o foco da matemática escolar para os anos 80 e que o desenvolvimento da habilidade em resolução de problemas deveria dirigir os esforços dos educadores matemáticos por toda essa década e que o desempenho em saber resolver problemas mediria a eficiência de um domínio, pessoal e nacional, da competência matemática.

O documento ainda dizia que resolução de problemas abrange uma grande quantidade de rotinas e lugares comuns, assim como funções não rotineiras consideradas essenciais na vida diária dos cidadãos. Dizia, também, que é preciso preparar os indivíduos para tratar com problemas especiais com que irão se deparar em suas próprias carreiras. Resolução de Problemas envolve aplicar a matemática ao mundo real, atender a teoria e a prática de ciências atuais e emergentes e resolver questões que ampliam as fronteiras das próprias ciências matemáticas. Não se deveria interpretar esta recomendação entendendo a matemática a ser ensinada somente em função da matemática necessária para se resolver um dado problema, num dado momento. Uma unidade estrutural e eis inter-relações do todo não deveriam ser sacrificadas.

A verdadeira força da resolução de problemas requer um amplo repertório de conhecimento, não se restringindo às particularidades técnicas e aos conceitos, mas estendendo-se às relações entre eles e aos prin­cípios fundamentais que os unifica. O problema não pode ser tratado como um caso isolado. A matemática precisa ser ensinada como matemática e não como um acessório subordinado a seus campos de aplicação. Isso pede uma atenção continuada à sua natureza interna e a seus princípios organizados, assim como a seus usos e aplicações.

As ações recomendadas por esse documento enfatizavam que:

# o currículo matemático deveria ser organizado ao redor de resolução de problemas;
# a definição e a linguagem de resolução de problemas em matemática deveria ser desenvolvida e expandida de modo a incluir uma ampla gama de estratégias, processos e modos de apresentação que encerrassem o pleno potencial de aplicações matemáticas;
# os professores de matemática deveriam criar ambientes de sala de aula onde a resolução de problemas pudesse prosperar;
# materiais curriculares adequados ao ensino de resolução de problemas deveriam ser desenvolvidos para todos os níveis de escolaridade; os programas de matemática dos anos 80 deveriam envolver os estu­dantes com resolução de problemas, apresentando aplicações em to­dos os níveis;
# pesquisadores e agências de fomento à pesquisa deveriam priorizar, nos anos 80, investigações em resolução de problemas.

Nesse documento, também se enfatiza a compreensão da relevância de aspectos sociais, antropológicos e lingüísticos, além dos cognitivos, na aprendizagem da matemática, imprimindo assim novos rumos às discussões curriculares. Os programas de matemática deveriam tirar vantagem da força das calculadoras e computadores nos diferentes níveis de escolaridade.

Andrade (1998, p. 09), afirma que

Nessa década a ATM (Association of Teachers of Mathematics), entidade inglesa, estabeleceu que a habilidade em resolução de problemas fosse o cen­tro do ensino de matemática e que deveria substituir a aritmética elementar como tema principal nas classes elementares. Na metade da década de 1980, Resolução de Problemas passa a ocupar a atenção de quase todos os congressos de nível internacional. É nessa década que o Brasil, de fato, começa a trabalhar sobre Resolução de Problemas.

Fiorentini (1994, p.189) disse que "os estudos relativos ao ensino de resolução de problemas só seriam iniciados, de modo mais efetivo, a partir da segunda metade da década de 80." Esses estudos restringem-se, quase que absolutamente, a trabalhos traduzidos em dissertações de Mestrado e teses de Doutorado.

Onuchic (1999) explica que no final da década de 1980, a Resolução de Problemas como uma arte e como um objetivo é questionado por pesquisadores do mundo inteiro. Os parâmetros Curriculares Nacionais chamaram a atenção para o documento "Uma Agenda para a Ação" dizendo que suas idéias influenciaram as reformas ocorridas em todo o mundo e que muitos pontos de convergência foram constatados nas propostas levantadas no período 1980/1995.

As discussões sobre Resolução de Problemas e os esforços feitos para desenvolver currículos e materiais instrucionais, tanto para professores como para alunos, têm sido convenientes e úteis. A noção de que Resolução de Problemas devesse desempenhar um papel importante no currículo teve aceitação bem difundida.

Durante a década de 1980, muitos recursos em resolução de problemas foram desenvolvidos, visando ao trabalho em sala de aula, na forma de coleções de problemas, listas de estratégias, sugestões de atividades e orientações para avaliar o desempenho em resolução de problemas. Muito desse material passou a ajudar os professores a fazerem da resolução de problemas o ponto central de seu trabalho. Entretanto, não deu o tipo de coerência e a direção necessária a um bom resultado porque havia pouca concordância na forma pela qual este objetivo era encarado. Essa falta de concordância ocorreu, possivelmente, pelas grandes diferenças existentes entre as concepções que pessoas e grupos tinham sobre o significado de "resolução de problemas ser o foco da matemática escolar", conforme esclarece Onuchic (1999).

É importante dizer que os estudos da década de 1980 deram grande atenção ao processo de resolução de problemas, não se limitando à busca da solução. Mesmo assim, o processo continuou preso à busca da solução do problema.

Schroeder &. Lester (1989, p.31-4) apresentam três modos diferentes de abordar Resolução de Problemas, que podem nos ajudar a refletir sobre essas diferenças:

Ensinar sobre resolução de problemas, ensinar a resolver problemas e ensinar matemática através da resolução de problemas. O professor que ensina sobre resolução de problemas procura ressaltar o modelo de resolução de problemas de Polya ou alguma variação dele. Este modelo descreve um conjunto de quatro fases interdependentes no processo de resolver problemas matemáticos: compreender o problema, criar um plano, levar avante esse plano e olhar de volta o problema original. Ao ensinar a resolver problemas, o professor se concentra na maneira como a matemática é ensinada e o que dela pode ser aplicada na solução de problemas rotineiros e não rotineiros. Embora a aquisição de conhecimento matemático seja importante, a proposta essencial para aprender matemática é ser capaz de usá-la. Em conseqüência disso, dá-se aos alunos muitos exemplos de conceitos e de estruturas matemáticas sobre aquilo que estão estudando e muitas oportunidades de aplicar essa matemática ao resolver problemas.

Acabando a década de 1980 com todas essas recomendações de ação, pesquisadores passaram a questionar o ensino e o efeito de estratégias e modelos. Começam a discutir as perspectivas didático-pedagógicas da resolução de problemas.

Por Andrade (1998, p. 12), a Resolução de Problemas passa a ser pensada como

uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar matemática. O problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação em linguagem matemática formal. O foco está na ação por parte do aluno. A Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino passa a ser o lema das pesquisas e estudos de Resolução de Problemas para os anos 90.

Ao se ensinar matemática através da resolução de problemas, os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas, também, como um primeiro passo para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. Um objetivo de se aprender matemática é o de poder transformar certos problemas não rotineiros em rotineiros. O aprendizado, deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar com esses símbolos).

Observa-se que, embora na teoria as três concepções de ensinar resolução de problemas matemáticos possam ser separadas, na prática elas se superpõem e acontecem em várias combinações e seqüências.

Schroeder &. Lester (1989, p.34) dizem que Ensino de Matemática através de Resolução de Problemas não tem sido adotada, quer implicitamente quer explicitamente, por muitos professores, autores de livros e promotores de currículos, mas constitui-se numa abordagem que merece ser considerada, desenvolvida e avaliada. Sem dúvida, ensinar matemática através da resolução de problemas é a abordagem mais consistente com as recomendações do NCTM e dos PCN, pois conceitos e habilidades matemáticas são aprendidos no contexto de resolução de problemas. O desenvolvimento de processos de pensamento de alto nível deve ser promovido através de experiências em resolução de problemas, e o trabalho de ensino de matemática deve acontecer numa atmosfera de investigação orientada em resolução de problemas.

O ponto central em trabalhar o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas baseia-se na crença de que a razão mais importante para esse tipo de ensino é a de ajudar os alunos a compreender os conceitos, os processos e as técnicas operatórias necessárias dentro do trabalho feito em cada unidade temática.

Assim sendo, a compreensão de matemática, por parte dos alunos, envolve a idéia de que entender é essencialmente relacionar. Para Onuchic (1999, p. 208) esta posição baseia-se na observação de que a compreensão aumenta quando:

o aluno é capaz de relacionar uma determinada idéia matemática a um grande número ou a uma variedade de contextos;

o aluno consegue relacionar um dado problema a um grande número de idéias matemáticas implícitas nele; o aluno consegue construir relações entre as várias idéias matemáticas contidas num problema.

As indicações de que um estudante entende, interpreta mal ou não entende idéias matemáticas específicas surgem, com freqüência, quando ele resolve um problema. Acredita-se que, ao invés de fazer da resolução de problemas o foco do ensino da matemática, professores, autores de livros, promotores de currículos e avaliadores de aprendizagem deveriam fazer da compreensão seu ponto central e seu objetivo. Fazendo isso, eles mudariam a visão estreita de que matemática é apenas uma ferramenta para resolver problemas, para uma visão mais ampla de que matemática é um caminho de pensar e um organizador de experiências.

É importante ter a visão de que compreender deve ser o principal objetivo do ensino, apoiados na crença de que o aprendizado de matemática, pelos alunos, é mais forte quando é autogerado do que quando lhes é imposto por um professor ou por um livro-texto. Quando os professores ensinam matemática através da resolução de problemas, eles estão dando a seus alunos um meio poderoso e muito importante de desenvolver sua própria compreensão. À medida que a compreensão dos alunos se torna mais profunda e mais rica, sua habilidade em usar matemática para resolver problemas aumenta consideravelmente.

1.1 O ensino de matemática através da Resolução de Problemas no Brasil

La Taille (1997) escreveu que o problema central da educação no Brasil é o de sua qualidade. Também diz que os parâmetros Curriculares Nacionais são uma proposta cujo objetivo é nortear o trabalho dos educadores e que sua elaboração foi inspirada em experiências pedagógicas desenvolvidas em várias regiões do país.

Onuchic (1999) explica que a atualidade dos PCN é evidente, pois eles traduzem a necessidade de se achar um denominador comum para a educação brasileira. Em torno deles deverá acontecer uma profícua reflexão sobre os objetivos da educação e de sua qualidade. Os PCN preconizam que a educação deve ser pensada como um trabalho de preparação do aluno para a vida como um todo. A tendência atual é pensar a escola como um lugar onde se preparam meninos e meninas para assumir sua parcela de responsabilidade pelo mundo, para conhecer seus direitos para poder participar da construção de uma sociedade melhor.

La Taille, (1997) mostra que de acordo com os PCN a Matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar.

De acordo com Onuchic (1999) os PCN visam à construção de um referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para que toda criança e jovem brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes possibilite, de fato, sua inserção no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura. Como decorrência, poderão nortear a formação inicial e continuada de professores, pois, à medida que os fundamentos do currículo se tornam claros, ficam implícitos o tipo de formação que se pretende para o professor e a orientação à produção de livros e de outros materiais didáticos, contribuindo dessa forma para a configuração de uma política voltada à melhoria do ensino. Os PCN indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida de atividades matemáticas e discutem caminhos para fazer matemática na sala de aula, destacando a importância da História da Matemática e da Tecnologia de Comunicação.

O PCN (1997) mostra que os objetivos gerais da área de Matemática, buscam contemplar todas as linhas que devem ser trabalhadas no ensino de matemática. Esses objetivos têm como propósito fazer com que os alunos possam pensar matematicamente, levantar idéias matemáticas, estabelecer relações entre elas, saber se comunicar ao falar sobre elas, desenvolver formas de raciocínio, estabelecer conexões entre temas matemáticos e outras áreas, poder construir conhecimentos matemáticos e desenvolver a capacidade de resolver problemas, explora-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles.

Portanto, os PCN não devem ser assumidos como um pacote pedagógico, mas como orientações curriculares feitas e refeitas na prática escolar.

2OS PROBLEMAS MATEMÁTICOS ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Quando se trata das séries iniciais, alguns professores chegam a considerar a resolução de problemas como a principal razão de se aprender e ensinar Matemática, porque é através dela que se inicia o aluno no modo de pensar matemático e nas aplicações da Matemática no nível elementar.

Dante (1994, p. 08) nos mostra que apesar de ser extremamente valorizada, a resolução de problemas é um tópico difícil de ser trabalhado em sala de aula. É comum os alunos saberem efetuar todos os algoritmos (as "continhas" de adição, subtração, multiplicação e divisão) e não conseguirem resolverem um problema que envolve um ou mais desses conceitos. Há fatores que agravam essa dificuldade, e entre eles a interpretação do enunciado, a falsa proximidade entre o problema escolar e o cotidiano dos alunos, a falta de compreensão dos diferentes significados de cada uma das operações, o padrão de problemas propostos, a ênfase que a escola dá ao modo "correto" de resolver os problemas.

2.1 O que é um problema?

O termo problema pode fazer referência a situações muito diferentes, em função do contexto no qual ocorrem e das características das pessoas que nelas se encontram envolvidas. Diante dessa visão os professores acabam aprendendo que os problemas que expõem aos alunos em sala de aula podem diferir consideravelmente dos que eles próprios se colocam fora da classe. Assim sendo a escola se interessa em fazer com que os alunos não somente se coloquem diante de determinados problemas, mas que cheguem, inclusive, a adquirir os meios para resolvê-los.

A palavra "problema" ocorre em muitas profissões e tem significados distintos. De acordo com Dante (1994, p. 09-10) problema "é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-lo". O autor ainda complementou, ao direcionar o conceito para a área matemática, que problema matemático "é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la.

Toledo (2006) mostra que um problema matemático é toda e qualquer situação onde é requerida uma descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo. O ponto principal é que a pessoa que vai resolver um problema terá de descrever estratégias novas, percorrer novos caminhos, ela até pode conhecer os objetivos a serem alcançados, mas desconhece os meios para alcançar tais objetivos.

Lester apud Pozo (1994, p. 15) define problema como "uma situação que um indivíduo ou um grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à solução".

Nessa perspectiva Toledo (2006, p.5) mostra algumas características dos problemas:

·O caminho da resolução é desconhecido;

·Precisam ser analisados de varias formas diferentes, ou seja, esgotar todas as suas possibilidades;

·Exigem paciência, pois devemos analisar até descobrirmos padrões, regularidades que permitam traçar estratégias de resolução;

·Pode conter informações ocultas, que só percebermos se analisarmos corretamente as informações dadas;

·Não têm uma resposta única: podemos nos deparar com situações em que existam várias maneiras de resolver o mesmo problema, outras em que não exista uma melhor solução ou até mesmo encontrar problemas sem solução, pois resolver um problema não é a mesma coisa de identificar somente a resposta.

Diante desses conceitos pode-se definir um problema como uma situação em que temos que construir um processo de resolução e não conhecemos o caminho a ser trilhado. De outra forma não seria um problema, mas sim a aplicação de conhecimentos previamente conhecidos.

2.2 Diferença entre problema e exercício.

Uma situação somente pode ser concebida como um problema na medida em que exista um reconhecimento dela como tal, e na medida em que não disponhamos de procedimentos automáticos que nos permitam solucioná-la de forma mais ou menos imediata, sem exigir, de alguma forma, um processo de reflexão ou uma tomada de decisões sobre a seqüência de passos a serem seguidos. Esta última característica seria a que diferenciaria um verdadeiro problema de situações similares, como podem ser os exercícios. Dito de outra forma, um problema se diferencia de um exercício na medida em que, neste último caso, dispomos e utilizamos mecanismos que nos levam, de forma imediata, à solução.

Por isso, é possível que uma mesma situação represente um problema para uma pessoa enquanto que para outra esse problema não existe, quer porque ela não se interesse pela situação, quer porque possua mecanismos para resolvê-la com investimento mínimo de recursos cognitivos e pode reduzi-Ia a um simples exercício.

Nessa mesma linha de pensamento Pozo (1994, p. 16) cita exemplos de problemas e exercícios

[...] consertar um circuito elétrico é um simples exercício para algumas pessoas, mas um problema complexo e trabalhoso para outras. Da mesma forma, interpretar a informação contida num gráfico ou isolar uma incógnita numa equação matemática pode re­presentar um problema, um exercício, ou nenhuma das duas coisas, para alunos com diferentes conhecimentos e atitudes.

Além de conceber a distinção entre exercícios e problemas como algo relacionado com o contexto da tarefa e com o aluno que a enfrenta, é importante agora especificar a relação existente, do ponto de vista da aprendizagem, entre a análise de um exercício e a resolução de um problema para uma visão mais geral dos processos de aprendizagem envolvidos na aquisição de habilidades e estratégias.

De forma sintética, pode-se dizer que a realização de exercícios se baseia no uso de habilidades ou técnicas sobreaprendidasou seja, transformadas em rotinas automatizadas como conseqüência de uma prática contínua. Limitamo-nos a exercitar uma técnica quando enfrentamos situações ou tarefas já conhecidas, que não representam nada de novo e que, portanto, podem ser resolvidas pelos caminhos ou meios habituais (POZO & POSTIGO, 1993).

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Assim, um problema é de certa forma, uma situação nova ou diferente do que já foi aprendido, que requer a utilização estratégica de técnicas já conhecidas.

Conforme já foi colocado, não é possível determinar, em geral, se uma tarefa escolar determinada é um exercício ou um problema; isto depende não somente da experiência e dos conhecimentos prévios de quem a executa, mas também dos objetivos que estabelece enquanto a realiza. Quando a prática nos proporcionar a solução direta e eficaz para a solução de um problema, escolar ou pessoal, acabaremos aplicando essa solução rotineiramente, e a tarefa servirá, simplesmente, para exercitar habilidades já adquiridas.

É muito comum a dúvida entre a diferença de problemas e exercícios. Dante (1998, p. 43) salienta que é preciso fazer clara distinção entre o que é um exercício e o que é um problema. "Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas".

Pode-se dizer então que os exercícios são atividades em que aplicamos conhecimentos ou habilidades já conhecidos, ou seja, apenas utilizamos conhecimentos prévios para resolver situações semelhantes às que foram apresentadas anteriormente na ocasião do aprendizado. Exercícios envolvem apenas a reprodução de situações de aprendizagem já fixadas, enquanto o problema exige o desenvolvimento de novos caminhos.

Conforme mostra Dante (1998, p. 43) "Problema é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de um problema exige certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias".

2.3 Os tipos de problema

Existem inúmeras classificações das possíveis estruturas dos problemas tanto em função da área à qual pertencem e do conteúdo dos mesmos como do tipo de operações e processos necessários para resolvê-los, ou de outras características.

Moura et al (2007) classifica os tipos de problemas em: problema-processo, problema do cotidiano, problema de lógica, problema recreativo e problema-padrão.

Dante (1998, p. 17) define problema-processo

São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que poderá levá-lo à solução.

Os problemas-processocaracterizam-se por terem como objetivo desencadear a aprendizagem da matemática, privilegiar os processos, a investigação, o raciocínio. Podemos citar como exemplos de problema-processo, aqueles provenientes das Histórias Virtuais conforme salienta (MOURA et al, 2007).

Moura & Lanner de Moura (1998, p. 14). caracterizam a história virtual por

uma situação-problema vivida por algum personagem, dentro de uma história. Esta, por sua vez, revela uma semelhança com algum problema vivido pela humanidade. A história virtual é, portanto, uma situação-problema que poderia ser vivida pela humanidade em algum momento. Por isso, ela é virtual: é como se fosse a situação real.

A história virtual do conceito possibilita ao aluno a necessidade de primeiro compartilhar saberes com colegas e professores para depois se apropriar como um saber individual. Por isso, ao propor a resolução de um problema que tem por base uma lenda, mito ou outra história qualquer, a criança atribui significados e/ou sentidos ao conceito matemático tratado, sendo a resolução compartilhada e negociada no grupo. Naquele momento, isso é importante, pois na ação coletiva da turma as discussões suscitam relações, conceitos e ideologias.

Nesse sentido, Libâneo (2004) salienta que o contar e ouvir histórias são entendidos como atividade, pois se relaciona às necessidades que impulsionam os motivos, levando os alunos ao objetivo de resolver o problema do personagem da história, colocando diferentes operações em movimento. O contexto da história representa uma das condições concretas da atividade que determinarão as operações vinculadas a cada ação.

Sendo assim o professor pode analisar como cada sujeito diante da história contada/ouvida colocou em movimento o sentido da palavra e dos objetos para a resolução do problema do personagem.

Dante (1998) ainda menciona que os problemas-processo aguçam a curiosidade do aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade, sua iniciativa e seu espírito explorador. E, principalmente, iniciam o aluno no desenvolvimento de estratégias e procedimentos para resolver situações-problema, o que, em muitos casos, é mais importante que encontrar a resposta correta.

Esse tipo de problema dá margem a vários enfoques e maneiras para se chegar à solução. O aluno precisa pensar, elaborar um plano, tentar uma estratégia de acordo com sua intuição, testar essa estratégia e verificar se chegou à solução correta. Para isso, ele usa uma grande variedade de processos de pensamento.

A preocupação em valorizar o processo também é uma característica dos problemas do cotidiano.Os problemas que enfatizam o cotidiano são chamados de problemas reais por Varizo (1993), porque surgem do contexto sócio-cultural em que a criança está inserida ou se assemelham às situações vivenciadas por ela.

São aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. São também chamados de situações-problema.Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se matematizar uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo operações etc. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e levantamento de dados. Podem ser apresentados em forma de projetos a serem desenvolvidos usando conhecimentos e princípios de outras áreas que não a Matemática, desde que a resposta se relacione a algo que desperte interesse (DANTE, 1998, p. 20).

Os problemas que emergem do cotidiano envolvem o aluno desde a própria configuração do problema até a sua resolução. Geralmente a resolução do problema requer investigação e o envolvimento com outras áreas do conhecimento, o que possibilita ao aluno uma visão menos fragmentada da realidade. São também denominados de problemas de ação, por estarem diretamente ligados à nossa vida (GONZÁLES, 1995).

Moura et al (2007) salienta que além dos problemas do tipo processo e do cotidiano, o professor pode propor problemas de lógica e problemas recreativos.Os problemas de lógica geralmente se apresentam em forma de textos como histórias e diálogos em que os dados e a solução não são numéricos. Eles propiciam que a criança desenvolva estratégias que favoreçam a leitura e compreensão, o levantamento de hipóteses, a análise dos dados e diferentes registros de resolução. Geralmente, neste tipo de problema as crianças se sentem desafiadas a encontrar a resolução da situação apresentada.

Varizo (1993) menciona que os problemas recreativos são caracterizados como aqueles que envolvem jogos do tipo quebra-cabeças, aspectos históricos curiosos que interessam, intrigam, envolvem e desafiam os alunos. Os problemas recreativos envolvem a criatividade e a possibilidade de encontrar uma ou várias soluções para um único problema, o desenvolvimento de estratégias e diferentes registros.

Dante (1998, p. 21) explica que tais problemas "envolvem e desafiam a maioria dos alunos, [...] e sua solução depende, quase sempre, de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque, que á a chave da solução".

Os mais comuns e também mais conhecidos e desenvolvidos na escola são os problemas-padrão, também denominados problemas convencionais, problema do livro didático, problema rotineiro ou problema trivial. Estes problemas são propostos com freqüência após a explicação das operações aritméticas, a sua resolução envolve a aplicação direta de técnicas e algoritmos que levem ao resultado imediato.

Em relação aos problemas-padrão Dante (1998, p. 17) mostra que

Sua resolução envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos e não exige qualquer estratégia. São os tradicionais problemas de final de capítulo nos livros didáticos. A solução do problema já está contida no próprio enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem matemática, identificando as operações ou algo ritmos necessários para resolvê-lo.

O objetivo desses problemas é recordar e fixar os fatos básicos através dos algo ritmos das quatro operações fundamentais, além de reforçar o vínculo existente entre essas operações e seu emprego nas situações do dia-a-dia. De um modo geral, eles não aguçam a curiosidade do aluno nem o desafiam.

Como o próprio enunciado já apresenta a solução, a criança não sente desejo ou necessidade de resolvê-lo e, além disso, ela não precisa elaborar e desenvolver estratégias e procedimentos de resolução. Este problema é considerado um não-problema, caracteriza-se como um exercício de aplicação ou fixação de técnicas e regras.

Por fim, pode-se dizer que a proposição de bons tipos de problemas é fundamental para que a criança possa construir significativamente os conteúdos matemáticos e desenvolver o raciocínio lógico, a criatividade e a autonomia. No entanto, isoladamente não garantem a qualidade desse processo: a maneira como o problema é proposto, a postura do professor diante dos questionamentos, dos registros, das dificuldades dos alunos e a função da avaliação nesse processo também são aspectos relevantes.

2.4 Os tipos de problema de adição e subtração

Para Rosa Neto (2003) o conceito de adição está implícito na própria noção de número, pois o número é composto de uns. A ação de juntar quantidades participa da construção do número. O conceito de subtração é construído a partir de retirar e associa-se ao conceito de adição a partir da aquisição da reversibilidade. Colocar e retirar são ações opostas.

A classificação dos problemas de adição e de subtração compartilhada pela maioria dos pesquisadores na área distingue quatro tipos diferentes de problemas (CARPENTER & MOSER (1983); RILEY & GREENO & HELLER (1983); VERGNAUD (1983):

1. Problemas de mudança.

Os problemas de mudança são todos aqueles que se caracterizam por um processo de ativamente juntar duas quantidades. Geralmente, dá-se uma quantidade inicial e uma ação direta ou indireta que causa um aumento ou acréscimo dessa quantidade como, por exemplo:

"Paula gosta de criar pintinhos. Ela tinha 12 pintinhos. Sua mãe lhe deu outros 15 pintinhos. Quantos pintinhos Paula tem agora?" O problema apresenta uma quantidade inicial (Paula tinha 12 pintinhos) e se refere a uma ação direta (sua mãe lhe deu outros 15 pintinhos) que causou um aumento naquela quantidade. Outro exemplo, que requer subtração, é o seguinte: "Renato faz coleção de pipas.

Ele tinha 28 pipas. Renato deu a seu primo 12 pipas. Quantas pipas Renato tem agora?" Também nesse segundo exemplo, uma quantidade inicial é dada (28 pipas) e faz-se referência a uma ação (Renato deu 12 pipas), que, ao contrário do problema anterior, causa um decréscimo na quantidade inicial.

2. Problemas de igualização.

Problemas de igualização é uma categoria que envolve a mesma espécie de ação encontrada nos problemas de mudança, mas envolve também uma comparação. Eles envolvem a mudança de uma quantidade para que as duas tenham a mesma quantidade ou tenham o mesmo número de atributos, como no exemplo seguinte:

"Mamãe colheu 23 flores amarelas e 11 flores vermelhas. Quantas flores vermelhas mamãe vai ter de colher para ficar com a mesma quantidade de flores amarelas e vermelhas?"

O problema envolve uma ação (mamãe vai ter de colher mais flores vermelhas) ao mesmo tempo em que exige que uma comparação entre as quantidades de flores amarelas e vermelhas seja estabeleci da (para que se obtenha a mesma quantidade de flores amarelas e vermelhas). Esse tipo de problema pode envolver um aumento na quantidade menor, como é o caso do exemplo dado, ou um decréscimo na quantidade maior, como nesse outro exemplo: "Sandra vendeu 36 laranjas e 21 mangas. Quantas mangas Sandra ainda precisa vender para que tenha vendido a mesma quantidade de laranjas e mangas?"

3. Problemas de comparação.

Os problemas de comparação envolvem a comparação entre duas quantidades e a diferença entre duas quantidades é que deve ser encontrada, como no seguinte caso:

"João tem 25 figurinhas. Carlos tem 12 figurinhas. Quantas figurinhas João tem a mais do que Carlos?" Nessa categoria, estão também os problemas em que se conhece a diferença entre duas quantidades e uma das quantidades, devendo-se calcular o valor da outra quantidade como no problema: "Na cantina do colégio, tem 32 brigadeiros e 15 docinhos de uva a mais do que a quantidade de brigadeiros. Quantos docinhos de uva tem na cantina?"

4. Problemas de combinação.

Os Problemas de combinação descrevem um relacionamento estético entre uma quantidade e suas partes e incluem casos em que as partes são dadas e o todo é desconhecido, como no exemplo seguinte:

"Na festa da escola, 26 crianças vão dançar e 23 vão cantar. Quantas crianças ao todo se apresentarão na festa da escola?" Nessa categoria, estão também os problemas em que o todo e uma das partes são conhecidos e deve-se calcular o valor da outra "parte", que é desconhecida, como neste outro exemplo:

"Rita e Laura têm juntas 47 bonecas. Rita tem .22 bonecas. Quantas bonecas Laura tem?"

Para cada uma das quatro categorias acima existem três tipos diferentes de problemas determinados por qual dos três elementos é o elemento desconhecido. Embora a ação em uma classe de problemas seja a mesma, dependendo de quais quantidades são conhecidas e qual é desconhecida, eles se tornarão muito diferentes, exigindo diferentes métodos de resolução e, conseqüentemente, apresentando diferentes níveis de dificuldade. Os três problemas seguintes exemplificam, para os problemas de mudança (a primeira categoria descrita acima), como o problema muda dependendo de qual é o elemento desconhecido.

Problema 1: "Juquinha tinha algumas figurinhas. Carlos lhe deu 25 figurinhas. Juquinha tem agora 79 figurinhas. Quantas figurinhas o Juquinha tinha antes?"

Problema 2: "Juquinha tinha 54 figurinhas. Carlos lhe deu algumas figurinhas. Juquinha tem agora 79 figurinhas. Quantas figurinhas o Carlos deu a Juquinha?"

Problema 3: "Juquinha tinha 54 figurinhas. Carlos lhe deu 25 figurinhas. Quantas figurinhas o Juquinha tem agora?"

O elemento desconhecido no primeiro problema é o estado inicial (quantas figurinhas Juquinha tinha antes); no segundo problema, desconhece-se a transformação (quantas figurinhas Carlos deu a Juquinha) e, no terceiro problema, a quantidade desconhecida é o estado final (quantas figurinhas o Juquinha tem agora). Para resolver cada um dos problemas, a criança jovem geralmente recorre à representação direta da seqüência de informações contidas no problema. Por exemplo, para o problema 3, a criança identifica e representa a primeira série (54 figurinhas), representa e acrescenta a segunda série (25 figurinhas) e obtém o resultado por contagem ou pela operação de adição. Mas, para resolver o problema 1, por exemplo, muitas crianças têm dificuldade em representar as quantidades envolvidas, porque o estado inicial é desconhecido e, conseqüentemente, o problema não pode ser representado diretamente (CARPENTER & MOSER, 1985).'

3ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA MATEMÁTICA ESCOLAR

Para Musser & Shaughnessy (1997) a resolução de problemas muitas vezes tem desempenhado um papel secundário no currículo de matemática, calcado fortemente no conteúdo e dirigido acentuadamente para as habilidades. Mesmo quando os problemas assumem um papel central num curso, é raro discutir-se a essência mesma do processo de resolução de problemas - as estratégias: Acreditamos que o currículo de matemática deveria basear-se mais em estratégias do que em conteúdo.Os alunos poderiam aprender primeiro muitas das estratégias de resolução de problemas envolvendo o conteúdo de uma área particular, digamos, matemática, para só mais tarde, então, tomar conhecimento de como essas estratégias se generalizam quando cruzam com outras áreas do conhecimento, como física, biologia, política e economia.

Musser & Shaughnessy (1997, p. 189) mostram que se adotarmos um ponto de vista baseado em estratégias, teremos de nos haver com algumas questões críticas:

"1) Que técnicas empregaremos na resolução de problemas?

2) Que estratégias de resolução de problemas empregaremos na matemática escolar?

3) De que maneira poderemos incentivar a resolução de problemas na sala de aula?"

Neste trabalho, sugerem-se algumas estratégias de resolução de problemas que poderiam ser incorporadas ao currículo, objetivando ajudar no ensino de resolução de problemas em sala de aula. Além disso, propõem-se alguns meios para o ensino de resolução de problemas.

3.1 Etapas de resolução de problemas, segundo Polya

Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, Polya (1977) o dividiu em quatro etapas. É importante ressaltar que Polya nunca pretendeu que a sua divisão correspondesse a uma seqüência de etapas a serem percorridas uma depois da outra sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás ou que a sua divisão funcionasse como uma poção mágica' para resolver problemas matemáticos.

Nessa mesma linha de pensamento Dante (1998, p. 22-23) explicou que

É claro que essas etapas não são rígidas, fixas e infalíveis. O processo de resolução de um problema é algo mais complexo e rico, que não se limita a seguir instruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse um algoritmo. Entretanto, de um modo geral elas ajudam o solucionador a se orientar durante o processo.

Vejamos com mais detalhes cada uma dessas etapas, já aplicadas a um exemplo de problema-padrão considerado bastante simples.

Exemplo:

Pedro e José possuem juntos, 36 figurinhas. Pedro possui 6 figurinhas a mais que José. Quantas figuras têm cada um?

1ª etapa:compreensão do problema

Antes de começar a resolver o problema, precisamos compreendê-lo. Para isso, deve-se responder questões como:

a) O que se pede no problema?

O que se procura no problema?

O que se quer resolver no problema?

O que o problema está perguntando?

No exemplo acima, o que se pergunta é; Quantas figurinhas te Pedro? E José?

Resolver o problema significa encontrar as respostas para essas perguntas.

b) Quais são os dados e as condições do problema?

O que está dito no problema e que podemos usar?

Os dados e as condições que possuímos, e que podemos usar na resolução do problema, conforme o exemplo são:

Pedro e José possuem figurinhas.

Os dois juntos têm 36 figurinhas.

Pedro tem 6 figurinhas a mais que José ou José tem 6 figurinhas a menos que Pedro.

c) É possível fazer uma figura da situação?

2ª etapa: construção de uma estratégia de resolução

Nesta etapa elabora-se uma estratégia de ação para resolver o problema, fazendo a conexão entre os dados do problema e o que ele pede. Muitas vezes chega-se a uma situação matemática, isto é, a uma linguagem matemática partindo da linguagem usual.

Algumas perguntas que se pode fazer nessa fase são:

a) Você já encontrou este problema ou um parecido?

b) Você conhece um problema semelhante?

c) É possível colocar as informações numa tabela de depois fazer um gráfico ou diagrama?

d) è possível resolver o problema por partes?

e) È possível traçar um ou vários caminhos em busca da solução?

Enfim é preciso elaborar um plano para resolver o problema. No exemplo citado, pode-se traçar várias estratégias ou planos, que levarão à solução do problema por vários caminhos.

3ª etapa: executando a estratégia

Freqüentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tende a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução e, deste modo, acabam sendo obrigados a voltar para a etapa anterior e elaborar uma nova estratégia. Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você consegue mostrar que cada um deles está correto?

4ª etapa: revisando a solução

Você deve examinar a solução obtida, verificando os resultados e os argumentos utilizados. Você pode obter a solução de algum outro modo? Qual a essência do problema e do método de resolução aplicado? Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método em algum outro problema? Qual a utilidade deste resultado?

Dante (1998) mostra que a revisão pode repassar todo o problema e isso faz com que o aluno reveja como pensou inicialmente, como encaminhou uma estratégia de solução, como efetuou os cálculos, enfim, todo o caminho percorrido para obter a solução. O autor salienta que esse processo cuidadoso é um excelente exercício de aprendizagem e serve também para detectar e corrigir possíveis enganos.

3.2 A importância de revisar a solução

Conforme vimos anteriormente, Polya (1977) dividiu o processo de resolução de problemas matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de resolução, execução e revisão. A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya, pois esta etapa propicia uma depuração e uma abstração da solução do problema:

Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la; pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor. Há uma crítica generalizada aos matemáticos pesquisadores por publicarem demonstrações muito artificiais ou abstratas e que certamente não representam a maneira como o resultado em demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável que a revisão de depuração é muito proveitosa.

Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução procurando descobrir a essência do problema e do método de resolução empregado; tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do 'poder de fogo' do resolvedor. Feito por um matemático talentoso, esse trabalho de abstração representa a possibilidade de fertilização da Matemática.

Observamos que na Educação Básica existem ao menos caricaturas das três primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade de testar, frustração dos alunos, etc.

Matemática

Page 1
MC08 - O MATERIAL DOURADO
E AS QUATRO OPERAÇÕES
Andréia Goldani
1
Elena Haas Chemale
1
O material dourado foi criado pela educadora Maria Montessori (1870
– 1952) para trabalhar com crianças que apresentavam dificuldades de
aprendizagem. Devido ao grande "sucesso" deste material didático-
pedagógico o trabalho começou a ser desenvolvido em sala de aula para
trabalhar atividades como o sistema de numeração decimal, as quatro
operações, as frações, números decimais, porcentagem, áreas e volumes.
O nome material dourado está relacionado às contas de plástico
transparente na cor dourada que deu origem a este recurso pedagógico. Hoje,
o material é de madeira, apresentado em quatro tipos: cubo, placa, barra e
cubinho, porém temos outras alternativas para sua montagem como EVA
(borracha) ou de papel cartona ou cartolina.
Na exploração do material dourado o professor deverá, num primeiro
momento, deixar que o aluno manipule livremente as peças do jogo para que
ele se familiarize com as mesmas e que, através desta manipulação,
reconheça as relações que existem entre elas. Após esta atividade, o professor
junto com os alunos deverá dar o nome convencional das peças para que
todos usem a mesma nomenclatura. Esta exploração deve acontecer de modo
gradativo iniciando pelo uso da casa das unidades, passando após para a das
dezenas e depois para as centenas. A passagem de uma ordem para a outra só
deve acontecer quando o aluno compreender bem o significado da dezena ou
centena. E, para que isto aconteça realizamos atividades como:
A formação do numeral no que diz respeito a valor relativo e
absoluto, por exemplo:
25 = 10 + 10 + 5
136 = 100 + 30 + 6, etc.
A construção de figuras, por exemplo:
a) O professor pede que construam a figura que desejarem e, depois,
contem quantos cubinhos foram utilizados?
Depois pode sugerir que eles construam:
b) Um avião com 18 cubinhos?
1
Licenciadas em Matemática. Professoras do Instituto de Educação Cenecista Marquês de Herval
e Faculdade Cenecista de Osório – RS.
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c) Uma ponte com 26 cubinhos?
Neste momento os alunos já devem fazer a troca de 10 cubinhos
(unidades) por 1 barra (dezena).
Jogo: "Qual é o número formado?”
E muitas outras atividades que explorem o sistema de numeração
decimal, o sucessor e o antecessor dos números.
Não podemos esquecer de trabalhar numerais com o uso do zero em
uma das casas como, por exemplo, os numerais 20, 105, 210, etc.
Após o aluno identificar, compreender e escrever os numerais,
poderemos passar para a fase das operações.
Na adição com números naturais devemos começar seguindo alguns
passos:
1º) adição de dois numerais de um algarismo cada, primeiro sem
transporte e depois com transporte;
2º) adição de um numeral de dois algarismos com um de um
algarismo, sem transporte e após com transporte;
3º) adição de dois numerais com dois algarismos cada, sem transporte
e com transporte;
4º) adição de numerais com mais de dois algarismos explorando as
mais diversas dificuldades.
Na subtração com números naturais devemos seguir os passos da
adição. Começamos pela subtração sem retorno para depois realizarmos a
subtração com retorno.
Quando usamos o material concreto, podemos realizar as trocas da
centena pelas dezenas e da dezena pelas unidades pode ser feita de maneira
invertida ou ao mesmo tempo, pois o importante é que o aluno compreenda o
que está fazendo e seja capaz de construir a regra.
Com este material a multiplicação é trabalhada inicialmente como
adição de parcelas iguais, para que o aluno possa construir a técnica da
operação, porém mais tarde devemos usar outras formas de multiplicação.
Na divisão a idéia inicial é de repartir quantidades iguais em grupos.
Inicia-se operando das ordens maiores para as menores, efetuando trocas
quando necessário. É aconselhável usar estes materiais para a divisão com
um algarismo no divisor, além do que se bem trabalhadas todas as
dificuldades, o aluno construirá o algoritmo (técnica) não necessitando mais
usar o material concreto.
O uso do material dourado é importante porque as relações numéricas
abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão.
Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um notável
desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável

Matemática

ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO

Sendo a, b e c números quaisquer, a sentença matemática que traduz esta operação é:
a - b = c onde, a é o minuendo, b é o subtraendo e c é o resto ou diferença.
No conjunto dos números naturais, para que seja possível efetuarmos a diferença entre dois números, é preciso que o minuendo seja maior que o subtraendo. No nosso exemplo,

a > b

Temos também algumas propriedades aritméticas formais implícitas no algoritmo da subtração:
1) a – a = 0
2) a – b – c = a – (b + c)

A técnica operatória ou algoritmo da subtração sugere que se escreva o subtraendo abaixo do minuendo e se subtraia da direita para a esquerda. Observe o algoritmo da subtração, onde o minuendo é 375 e o subtraendo é 234.

3 7 5
- 2 3 4
1 4 1

Note que as operações realizadas foram:

5 - 4 = 1
70 - 30 = 40
300 - 200 = 100

Perceba que esta é uma operação de subtração simples ou sem recurso.
Vejamos agora um exemplo do algoritmo para uma subtração com recurso, onde o minuendo é 457 e o subtraendo é 273.

3 1
4 5 7
- 2 7 3
1 8 4

Note que as operações realizadas foram:

7 - 3 = 4
50 - 70 = ?
150 - 70 = 80
300 - 200 = 100

Note que o que se faz na subtração é decompor uma dezena em 10 unidades e acrescenta-lás às unidades, ou decompor uma centena em 10 dezenas e acrescenta-las as dezenas, etc.

Quando devemos subtrair?

Em geral, é mais difícil as crianças identificarem a presença da subtração nos problemas.
Qual será a razão dessa dificuldade? A razão está no fato de que, geralmente, associamos a subtração apenas ao ato de retirar, mas há outras duas situações que também estão relacionadas com a subtração: os atos de comparar e de completar.
Vamos exemplificar cada uma das três situações:
· Problemas que envolvem o ato de retirar;
· Problemas que envolvem comparação;
· Problemas que envolvem a idéia de completar.


· Problema que envolve o ato de retirar



"Quando Oswaldo abriu a papelaria, pela manhã, havia 56 cadernos na prateleira. Durante o dia vendeu 13. Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na prateleira?"
Ao resolver este problema pensamos assim: dos 56 cadernos tiramos 13. Para saber quantos ficaram fazemos uma subtração: 56 - 13 = 43.
No final havia 43 cadernos na prateleira



· Problema que envolve comparação



"João pesa 36 quilos e Luís, 70 quilos. Quantos quilos Luís tem a mais que João?"
Esta pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luís é mais pesado que João, queremos saber quantos quilos a mais ele tem. Respondemos a pergunta efetuando uma subtração: 70 - 36 = 34. Luís tem 34 quilos a mais que João.



· Problema que envolve a idéia de completar



"O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43. Quantas faltam?"
Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum, pensamos numa subtração: 60 - 43 = 17. Faltam 17 figurinhas.
Pode ser difícil estabelecer distinção entre estas três situações. De certo modo, elas se confundem, na medida em que todas podem se resolvidas com base na mesma operação: a subtração. Entretanto, há uma diferença sutil entre elas.
Consideremos o primeiro problema. É um caso em que é possível pensar no ato de empilhar 56 cadernos, retirar 13 e contar quantos sobraram. Em problemas deste tipo não há dificuldade para identificar a subtração.
Entretanto, no segundo problema, que significado há em tirar os 36 quilos de João dos 70 quilos de Luís? Concretamente esta operação não pode ser realizada. Podemos apenas efetuar uma comparação dos pesos, verificando quantos quilos "a mais" tem João.
Vamos agora ao problema do álbum de figurinhas. Também não faz sentido tirar 43 figurinhas dos 60 lugares vazios do álbum. Nos problemas desse tipo é comum raciocinar pensando em quanto falta para completar uma certa quantidade: se já possuo 43 figurinhas, quantas faltam para completar 60? Note que a idéia envolvida é a de juntar, acrescentar.
O cálculo pode até ser feito por etapas, para ficar mais fácil:
Tenho 43; junto mais 7, fico com 50; tenho 50; junto mais 10; completo as 60 figurinhas. Ah! preciso de 10 + 7 = 17 figurinhas!
A idéia de completar ou de "quanto falta para" leva naturalmente à adição.
Isto é o que fazem, em geral, os caixas de lojas e os comerciantes, quando dão o troco. Por exemplo, numa compra de 27 reais em que o freguês paga com uma nota de 50 reais, o caixa dá 1 real e diz 28; dá mais 1, e diz 29; dá mais 1 e diz 30; dá mais 10,00, diz 40 e, finalmente, dá mais 10 e diz 50 reais.



Cálculo mental, rascunhos e propriedades da subtração

Podemos pensar assim:


Esta idéia pode ser generalizada deste modo: numa subtração, sempre que o primeiro número é acrescido de uma quantidade qualquer x e o segundo número permanece inalterado, então a diferença é acrescida da mesma quantidade.

A tabela anterior pode ser reescrita de baixo para cima:


Esta idéia pode ser generalizada assim: numa subtração, sempre que o primeiro número é diminuído de uma certa quantidade x e o segundo número permanece inalterado, então a diferença fica diminuída de mesma quantidade x.

Veja outro exemplo de utilização destas propriedades no cálculo mental.

Este cálculo mental baseou-se nesta relação:



Muitas crianças utilizam processos do cálculo mental para efetuar subtrações.

A conta seguinte pode ser encontrada no rascunho de nossos alunos:


Se perguntarmos como fizeram, são capazes de explicar assim:
"Quando eu faço uma subtração vou retirando as quantidades de uma maneira que facilite meu cálculo, até retirar tudo que é preciso."
Neste exemplo o aluno demonstra ter compreendido que retirar 5, retirar 2, 10, e depois retirar 100 é o mesmo que retirar, de uma só vez, 5 + 2 + 10 + 100, isto é, 117.

Este fato pode ser representado com esta igualdade:
{[(305 - 5) - 2 - 10] - 100} = 305 - (5 + 2 + 10 + 100)

Veja este outro exemplo:



Neste caso, o aluno associou à subtração a idéia de completar ("quanto falta para"). Ele fez adições sucessivas ao 114 até chegar no 225 e depois verificou quanto adicionou. No exemplo anterior o raciocínio envolvia subtrações sucessivas.
Estes exemplos mostram que, nos cálculos mentais e nos rascunhos, os alunos e as pessoas em geral, muitas vezes, usam regras criadas por elas próprias. Estas regras apóiam-se em certas propriedades da subtração, que estas pessoas captam das mais diversas maneiras. Analisar e explorar estes recursos espontâneos dos alunos é um excelente exercício, que contribui para uma melhor compreensão dos conceitos e das propriedades das operações!





Utilizando o ábaco para subtrair

Como dissemos no início desta lição, além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair.
Existem duas técnicas que são tradicionalmente apresentadas às crianças em nossas escolas. Alguns professores e professoras preferem uma enquanto outros colegas preferem trabalhar com a outra.
Vamos procurar compreender as duas. Para favorecer esta compreensão é bastante útil usar o ábaco.
Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 e 563:

· representamos o 563 no ábaco





· a seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1




· agora lemos o resultado




É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração:
A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico.
Agora vamos subtrair 431 de 725:

· representamos o 725 no ábaco




· a seguir, das 5 unidades subtraímos 1




· na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3;
por isso desagrupamos uma centena convertendo-a em dez dezenas





· agora, na casa das dezenas, temos 12 bolinhas e podemos retirar 3




· finalmente, das 6 centenas retiramos 4




Só é possível entender este processo de cálculo se entendemos a idéia de agrupamento, presente em nosso sistema de numeração.



A técnica da compensação


A outra técnica usada para subtrair baseias numa propriedade da subtração que é denominada compensação.
Vamos primeiro compreender a propriedade.
Veja o exemplo:
Hilda tem 167 centímetros de altura e Paulo mede 140 centímetros. Logo, Zilda tem 27 centímetros a mais que Paulo.




Se Zilda subir num banco de 30 centímetros de altura e Paulo também subir num banco de 30 centímetros de altura, é claro que Zilda continuará tendo 27 centímetros a mais do que Paulo.




Esta idéia pode ser realizada desta forma: na subtração de dois números, sempre que ambos aumentam do mesmo tanto a diferença entre eles permanece inalterada. Em outras palavras o aumento do primeiro número é compensado pelo aumento do segundo número. Daí o nome: propriedade da compensação.
Assim, por exemplo, a diferença entre 725 e 431 é igual à diferença entre 825 e 531, pois ambos os números foram aumentados em uma centena:




Vamos aplicar a propriedade da compensação para subtrair 431 de 725:


· das 5 unidades subtraímos 1 unidade
· na casa das dezenas não podemos subtrair 3 dezenas de 2 dezenas.
Aplicamos então a propriedade da compensação, aumentando os dois números em uma centena. Entretanto faremos isto de um modo um pouco diferente. Aumentaremos o segundo número, de fato, em uma centena, mas, o primeiro número, aumentaremos em dez dezenas. Podemos proceder assim pois uma centena é igual a dez dezenas.




· agora subtraímos 3 dezenas de 12 dezenas
· finalmente subtraímos 5 centenas de 7 centenas
A compreensão desta técnica, além de apoiar-se na compreensão do nosso sistema de numeração, baseia-se também, como vimos, na compreensão da propriedade da compensação.
A técnica para subtrair é comumente ensinada a partir da segunda série. Nesta época, dificilmente a criança terá condições de compreender a propriedade da compensação. Portanto, pode ser mais adequado o ensino da primeira técnica, porque possibilita a aprendizagem junto com a compreensão dos passos.


Como atividade e também com material de apoio sugerimos, o Material Dourado, E para evitar que este Tema se alongue demais estaremos disponibilizando um link, onde pode-se encontrar um trabalho bastante interessante sobre o Material Dourado.


· Material Dourado



Atividades



1) Utilizando o material Dourado, construa os seguintes números.
a) 2.324
b) 2.932
c) 1.522
d) 2.154
e) 2.324
Agora, destes números, subtraia 1.435.

2) Calcule de quanto, o menor numero de 4 algarismos, supera o maior número de 3 algarismos.
3) A diferença entre dois números é 51. Aumentando-se o minuendo em oito unidades e diminuindo-se o subtraendo de 2 unidades, qual será a nova diferença?
4) A diferença entre dois números é 50. O maior número é o triplo do menor. Quais são os números?
5) A diferença entre dois números é 32 e o subtraendo é 24. Qual o minuendo?
6) Qual o algarismo escondido?

a) 4 X
- X 8
4

b) 1 0 X
- X 5
6 9

Reportagem

ENTREVISTA - ANA TEBEROSKY
PRODUÇÃO DE TEXTO

A educadora espanhola Ana Teberosky, cátedra da Universidade de Barcelona, pesquisadora e autora de pesquisas importantes na área da educação, entre elas A Psicogênse da Língua Escrita, em parceria com Emília Ferreiro, obra que trouxe importantes reflexões a respeito da aquisiçao do sistema de escrita, falou com o Diário na Escola na última semana sobre produção de texto no ensino infantil e fundamental.
A pesquisadora esteve no Brasil para um Simpósio promovido pelo CEDAC (Centro de Educação e Documentação para a Ação Comunitária), em São Paulo, voltado para formadores em educação. Na entrevista, Ana Teberosky dissertou sobre a necessidade dos alunos entenderem para que e por que produzem textos, sobre como o educador pode estimular os alunos para essa produção, sobre a possibilidade de usar histórias e imitações no processo criativo e sobre a importância das crianças adquirirem vocabulário, entre outras coisas. A seguir os principais trechos da entrevista.

Diário na Escola – Como a senhora vê a aquisição e produção de texto por parte das crianças?
Ana Teberosky – É difícil falar sobre a produção de texto da criança brasileira, porque as crianças do Norte, do Sul, da costa, da Amazônia, têm muitas diferenças regionais, não há um único tipo de criança brasileira. Porém, há uma identidade. É como na Europa, a criança portuguesa não é muito diferente da criança espanhola, mas elas têm uma cultura escolar
diferente da criança brasileira. Por isso é difícil generalizar comentários sobre o processo de aquisição de textos das crianças de locais diferentes. De qualquer forma, é possível, em qualquer lugar, dizer que para que essa aquisição ocorra, os educadores devem fazer o seguinte questionamento com os alunos: para que são produzidos os textos e por que fazê-los.

Diário na Escola – De que forma os professores devem trabalhar a partir destas questões?
Ana Teberosky – Sobre a questão para que fazê-los, é interessante que se entenda que um adulto, uma pessoa letrada, lê textos com diferentes funções e aspectos subjetivos. O jornal é um texto, o romance é um texto, uma carta é um texto, ler uma notícia é um texto, ler a bula de um medicamento é um texto. Sendo assim, para entender para que se produz textos, educador e alunos devem produzir e interpretar juntos, é importante ficar claro que o resultado concreto da
leitura e da escrita é um texto. Ou pode-se também dizer que na realização do texto há resultados concretos, de leitura e interpretação. Não há ato de leitura sem a escrita – só uma palavra já é um texto. Portanto, na produção do texto, fazemos ao mesmo tempo um ato de leitura e de escrita. Sobre a questão por que fazê-los, a história é outra. O texto é importante na aquisição da leitura e da escrita, portanto é preciso produzir e ler textos. Há muitos processos psicolingüísticos e muitos motivos possíveis num discurso, num texto. Um processo de construção das sintaxes não acontece com a palavra sozinha há todo um processo de produção e compreensão da pontuação, um processo da coerência gráfica. Então, é muito importante que a aprendizagem da leitura e da escrita não seja restrita, há várias formas de produção do texto além da gráfica. A questão da palavra é outra. A ortografia é a palavra. Se o educador for trabalhar com a ortografia, aí a unidade da referência é a palavra, mais que o texto.

Diário na Escola – Qual a maneira de trabalhar a produção de texto sem a palavra escrita, sem a
ortografia? Não é necessária, desde o ensino fundamental, a preocupação de introduzir as regras
e normas cultas da escrita?
Ana Teberosky – Quando começa a produção de texto na pré-escola ou na primeira série, é bom começar com o texto ao mesmo tempo que começar com as letras, com as palavras. Talvez não seja possível que a criança produza um texto graficamente, mas ela pode contar para o adulto e o adulto escrever. Ela pode produzir um texto oralmente, em situação de entrevista, gravando
etc. A produção de texto não é necessariamente gráfica. Quanto às regras gramaticais e ortográficas, a aquisição de algumas delas é possível no início, outras ainda não. O professor tem que chegar a um equilíbrio entre a restrição e a limitação impostas pela aplicação das regras gramaticais e ortográficas na criação do texto, e a liberdade com que se aplica essa mesma atividade, sem utilizar a produção gráfica. Nem tudo deve ser limitado e restringido, nem tudo deve ser livre, pois isso é impossível.

Diário na Escola – Como se deve começar uma narrativa? O professor tem que buscar equilíbrio entre liberdade, desde que seja criativa, e regra formal de escrita?
Ana Teberosky – O professor deve começar em cima de uma estrutura narrativa conhecida ou de uma narrativa que tenha um personagem. Nós estamos trabalhando esse tema de equilíbrio de restituição de liberdade. Se você deixa a criança na conversa cotidiana oral, a produção dela é muito pobre, o vocabulário é pobre, curto, a estrutura é muito simples. Mas se você provoca alguma situação na qual a criança tem que imitar a outra ou falar como se fosse um personagem da televisão, falar como se fosse um professor, falar como se fosse um personagem do livro, o nível de instrução dela aumenta. Aumenta muito o vocabulário, a complexidade das sintaxes. Porque a imitação permite incorporar a capacidade de outro. Nós somos a favor do texto livre, mas com atenção para o fato de que, com ele, a criança pode ficar muito sozinha com suas próprias idéias e sem ajuda. Por isso, é interessante que o texto seja criado a partir de alguma estrutura e que o aluno receba ajuda no caso da imitação de personagens ou colegas.

Diário na Escola – A produção de texto é uma ferramenta importante para que a aquisição da leitura aconteça de forma letrada, efetiva?
Ana Teberosky – É muito importante porque permite a realização do jogo discursivo que é uma situação que, sem produção de texto, é impossível. Quando você está, por exemplo, na hora de comer, com a família, normalmente todos falam muito. Mas os temas desses discursos narrativos são muito limitados, para a aquisição da leitura são interessantes temas mais complexos. Em um comentário sobre um livro você pode incorporar muito mais, porque os temas são mais complexos, porque as palavras são mais complexas. Mais da metade do vocabulário de uma língua, de um idioma, só se encontra nos livros. O vocabulário não está na fala cotidiana, ela é muito repetitiva.

Diário na Escola – Qual a importância da apropriação do vocabulário restrito aos livros?
Ana Teberosky – Se você só tiver duas palavras para todo o mundo, o que seria do mundo? Quando a criança é pequena, a criança não fala cão. Ela refere-se ao cachorro somente como au, au. Essa é toda a referência que ela tem do animal. Mas ela pode aprender a referir-se ao cão dela, a partir de outras perspectivas: pode descobrir que o au, au pode ser chamado de cão ou de cachorro, que ele é um animal, mamífero e que au, au é o som que os cães fazem quando latem. São informações sobre o animal, agregadas à expansão do vocabulário.

Diário na Escola – Apropriação da língua é apropriação de conteúdos?
Ana Teberosky – É apropriação de conteúdos, é pensar. Não interessa a fala cotidiana automática, sem reflexão, por exemplo, quando você diz no almoço: “me dá salada”. Isso é automático. Para produzir um texto você tem que pensar a linguagem.

Diário na Escola – Qual sua recomendação para os professores que estão trabalhando produção de texto com os alunos?
Ana Teberosky – Ler muito. Devem ler como adultos, devem ler para os alunos, devem comentar o livro. Sem comentários não adianta, não há progresso. Deve-se falar muito sobre
o livro, não só sobre o conteúdo, mas sobre a linguagem, sobre a capa, as letras, como se lê hoje, sobre o jeito como se lê, sobre as ilustrações.

Diário na Escola – Nesse momento, junto com a leitura, o educador deve pedir para as crianças produzirem textos?
Ana Teberosky – Não tão de imediato, não é só o primeiro passo, há o segundo passo. Por exemplo, se o educador está lendo com os alunos Chapeuzinho Vermelho, ele pode falar sobre o engano do lobo e comparar o erro da história com alguma situação cotidiana. Os alunos podem então fazer narrativas que envolvam enganos como o da história e o que o professor contou.

Diário na Escola – Qual a idade para as crianças iniciarem a produção de texto em casa e na escola?
Ana Teberosky – Depende do estímulo da família e dos professores, mas pode ser em torno de 2 anos ou 3 anos de idade. Na escola também, o quanto antes melhor.

Diário na Escola – O professor pode pedir para a criança um texto por escrito, com algumas normas de gramática, a partir de qual idade?
Ana Teberosky – É possível pedir isso para crianças de 4,5 ou 5 anos de
idade. Depende do que o educador pede e do quanto elas tiveram contato com a leitura e com a escrita. A recomendação para o professor, na verdade, é ler muito, depois comentar, quando a criança produzir um texto, o educador deve ler, comparar,e mostrar que a escrita não existe sem a leitura e a leitura não existe sem escrita. Elas estão juntas. O aluno vai acabar entendendo que
ele deve fazer um texto para alguma coisa, em função de alguma coisa.
fonte: DIÁRIO DO GRANDE ABC - DIÁRIO NA ESCOLA (06/08/2004)

Matemática

Ábaco

Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos. Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez. Ele é utilizado ainda hoje para ensinar às crianças as operações de somar e subtrair.

JOGO DO NUNCA 10 (DEZ)

Eu prefiro no ábaco aberto esse que está ai em baixo:





















Nunca 10
Objetivos:
- Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal explorando situações-problema que envolvam contagem;
- Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no Sistema de Numeração Decimal.
Material:
Ábaco de pinos – 1 por aluno
2 dados por grupo
Metodologia:
Os alunos divididos em grupos deverão, cada um na sua vez, pegar os dois dados e jogá-los, conferindo o valor obtido. Este valor deverá ser representado no ábaco. Para representá-lo deverão ser colocadas argolas correspondentes ao valor obtido no primeiro pino da direita para a esquerda (que representa as unidades). Após todos os alunos terem jogado os dados uma vez, deverão jogar os dados novamente, cada um na sua vez.
Quando forem acumuladas 10 argolas (pontos) no pino da unidade, o jogador deve retirar estas 10 argolas e trocá-las por 1 argola que será colocada no pino seguinte, representando 10 unidades ou 1 dezena. Nas rodadas seguintes, os jogadores continuam marcando os pontos, colocando argolas no primeiro pino da esquerda para a direita (casa das unidades), até que sejam acumuladas 10 argolas que devem ser trocadas por uma argola que será colocada no pino imediatamente posterior, o pino das dezenas.
Vencerá quem colocar a primeira peça no terceiro pino, que representa as centenas.
Com esta atividade inicial, é possível chamar a atenção dos alunos para o fato do agrupamento dos valores, e que a mesma peça tem valor diferente de acordo com o pino que estiver ocupando.
Possivelmente seja necessário realizar esta atividade mais de uma vez. É importante que os alunos possam registrá-la em seus cadernos, observando as estratégias e os pontos obtidos por cada um dos jogadores, etc.
Contando os objetos
Objetivos:
- Realizar contagens, utilizando a correspondência biunívoca (um a um);
- Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal explorando situações-problema que envolvam contagem;
- Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no Sistema de Numeração Decimal.
Material:
objetos
ábaco de pinos (1 por aluno)
Metodologia:
Poderão ser selecionados na classe objetos (lápis de cor, giz, pedaços coloridos de papel, borrachas, etc.) em quantidades superiores a 10 unidades, ou poderá ser pedido aos alunos que tragam objetos (bolinhas de gude, figurinhas, botões, tampinhas, moedas, etc.) de casa para montar uma "coleção". Os alunos deverão contar esses objetos, a princípio um a um, registrando a quantidade obtida no ábaco (lembrando que não podem deixar mais de 10 argolas num mesmo pino). Posteriormente, os alunos deverão encontrar outras formas de contar a quantidade de objetos que possuem. Pode-se propor ou aceitar contagens de 2 em 2, de 3 em 3, de 4 em 4..., até que os alunos percebam que quando têm quantidades maiores que 10, podem registrá-las diretamente no pino das dezenas.
Operações
Objetivos:
- Compreender e utilizar as técnicas operatórias para adição e subtração com trocas e reservas;
- Compreender e fazer uso das regras do Sistema de Numeração Decimal;
- Fazer uso de material semi simbólico para registro de cálculos de adição e subtração;














Material Escala Cuisenaire:







Quem inventou o material Cuisenaire?







Origem
O material cuisenaire foi criado pelo professor belga Georges Cuisenaire Hottelet (1891-1980) Esse ai ao ladodepois de ter observado o desespero de um aluno, numa de suas aulas. Decidiu criar um material que ajudasse no ensino dos conceitos básicos da Matemática. Então cortou algumas réguas de madeira em 10 tamanhos diferentes e pintou cada peça de uma cor tendo assim surgido a Escala de Cuisenaire.
Durante 23 anos, Cuisenaire estudou e experimentou o material que criara na aldeia belga de Thuin. Só 23 anos depois da sua criação (a partir de um encontro com outro professor – o egípcio Caleb Gattegno), é que o seu uso se difundiu com enorme êxito. O egípcio, radicado na Inglaterra, passou a divulgar o trabalho de Cuisenaire – a quem chamava de Senhor Barrinhas. Levou apenas 13 anos para passar a ser conhecido nas escolas de quase todo o mundo.
Feito originalmente de madeira, o Cuisenaire é constituído por modelos de prismas quadrangulares com alturas múltiplas da do cubo – representante do número 1 –em 10 cores diferentes e 10 alturas proporcionais.
Introdução
O material Cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, sem divisão em unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades. Cada tamanho corresponde a uma cor específica.
Uma adaptação desse material pode ser a sua confecção em papel quadriculado, o que ressalta o número de unidades correspondente a cada cor:







Atividades Propostas
Construindo um muro
Objetivo:
- Introduzir a operação de adição e a comutatividade.
Material:
- Material Cuisenaire
Metodologia:
O professor pode apresentar uma barra e pedir que os alunos construam o resto do muro, usando sempre duas barras que juntas tenham o mesmo comprimento da peça inicial
As adições cujo total é dez ou maior que dez, assim como as adições com três ou mais parcelas podem ser introduzidas com essa atividade.
Construindo um muro especial
Objetivo:
- Introduzir o conceito de multiplicação, enquanto soma de parcelas iguais.
Material:
Material Cuisenaire
Metodologia:
O professor pode pedir aos alunos que formem muros usando, por exemplo:
2 tijolos pretos
4 tijolos vermelhos
5 tijolos roxos
Após a realização das atividades concretamente, professor pode pedir que os alunos registrem como fizeram a construção do muro e discutir com seus alunos as formas de registro.















CARTAZ VALOR LUGAR (CAVALU) eu Chamo de QVL- Quadro de Valor e Lugar

O cartaz valor lugar, abreviadamente chamado de cavalu pode ser usado no trabalho com números (sistema de numeração) e operações. De fácil confecção o cavalu, pode ser confeccionado colando-se uma folha de papel pardo pregueado (cada prega pode ter aproximadamente a profundidade de 3 centímetros) sobre um pedaço de papelão ou uma folha de papel cartão. Depois deve-se fazer duas separações verticais, usando para isso fitas, durex colorido ou até mesmo tiras de papel colorido. Com esse cartaz e alguns palitos, pode-se representar os números no sistema posicional além de realizar principalmente as operações de adição e subtração.
Por ser um material de fácil confecção, cada aluno pode confeccionar o seu próprio cavalu.
A seguir apresentamos o cavalu representando o número 12:
Atividades propostas:
O cavalu é um material que pode ser utlizado como variação para atividades de Sistema de Numeração. Por isso, sugerimos, como atividades introdutórias, as mesmas realizadas com o ábaco e com o material dourado.
Para uma variação posterior, podem ser propostas atividades com a ordem do milhar, que foram pouco exploradas nos outros materiais.









GEOPLANO:



O geoplano é um material criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno. Constitui-se por uma placa de madeira, marcada com uma malha quadriculada ou pontilhada. Em cada vértice dos quadrados formados fixa-se um prego, onde se prenderão os elásticos, usados para "desenhar" sobre o geoplano. Podem-se criar geoplanos de vários tamanhos, de acordo com o n.º de pinos de seu lado, por exemplo, 5x5, ou seja, cada lado do geoplano tem 5 pinos (pregos).
Atividades Propostas
QUE FIGURA É ESSA?
Objetivos:
Desenvolver a percepção visual de formas geométricas planas;
Comparar, ampliar e reduzir formas e figuras;
Fazer uso de nomenclatura adequada às formas;
Trabalhar com perímetro, lados e vértices.
Usar régua para desenhar.
Material:
Geoplano
Elásticos
Material para registro escrito.
Metodologia:
Esta atividade pode ser realizada em grupo, em duplas, ou individualmente.
O professor mostra uma forma já conhecida, pelo menos visualmente, ou seja, que eles conheçam e possam reproduzir, mesmo sem saber nomeá-las (quadrado, retângulo, trapézio, paralelogramo, hexágono, etc.)
No geoplano, usando 1 elástico, deverão reproduzi-la.
O professor pode sugerir que a figura deve ser montada utilizando um n.º de pregos. (se a figura mostrada estiver desenhada na malha pontilhada, facilitará a visualização da quantidade de pregos.)
Com a figura montada, o professor questiona o nome da figura; quantos lados ela tem; quantos pregos ela está tocando (possibilitando um 1º contato com a noção de perímetro).
A seguir, pergunta o que é preciso fazer para que essa figura fique maior.
Deixando-os explorar o geoplano, eles irão deslocar os elásticos para ampliá-la. Depois, pode pedir que a diminuam.
Daí, podem surgir questionamentos sobre quantos pregos foram usados na figura maior, e na menor, o que houve com as figuras – se ficaram iguais ou mudaram a forma.
Todas as questões podem ser registradas, e num segundo momento, as figuras formadas, desenhadas em quadriculados.










Com horas ao site da net: Metodologia do Ensino da Matemática










TANGRAN





O tangram é um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Ao contrário de outros quebra-cabeças ele é formado por apenas sete peças com as quais é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, figuras geométricas e outros. As regras desse jogo consistem em usar as sete peças em qualquer montagem colocando-as lado a lado sem sobreposição.





Com o uso do tangram você pode trabalhar a identificação, comparação, descrição, classificação e desenho de formas geométricas planas., visualização e representação de figuras planas, exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de figuras, compreensão das propriedades das figuras geométricas planas, representação e resolução de problemas usando modelos geométricos. Esse trabalho permite o desenvolvimento de algumas habilidades tais como a visualização, percepção espacial, análise, desenho, escrita e construção. Se utilizado em terceiras e quartas séries pode envolver ainda noções de área e frações.






Este quebra-cabeça tem sido utilizado como material didático nas aulas de Artes e está cada vez mais presente nas de Matemática. O trabalho com o tangram deve em suas atividades iniciais visar a exploração das peças e a identificação das suas formas.Logo depois, se passa à sobreposição e construção de figuras dadas a partir de uma silhueta, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se pede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a criança precisa analisar as propriedades das peças do tangram e da figura que se quer construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes.










Honrarias ao site : Mathema










Jogos que dispensam comentários:





1. Macaca ou Marelinha





Colaca- se os números nas casas, ou multiplos, triplos, resultados, enfim e a criança deve jogar a pedrinha na casa da resposta correta










2. Soma com dados (bozó)





Materiais:





Em educação pode -se usar quantos dados for o nível da turma:





Material:Um copo de arremesso – de preferência de couro





Dados comuns (bozó)Uma caderneta de anotação para cada Jogador (dupla).





Preparação:





Cada um coloca os dados no copinho de couro e emborca o copo na mesa, ou na rodinha e soma os pontos, a criança anota ganha quem tirar o número maior.


3. Bingo

O bingo é conhecido né o material são pedras numeradas até 80 e cartelas, milho, feijão ou outra coisa para marcar ganha quem preencher a cartela primeiro, é bem baratinho em centros comerciais acho que sai mais barato que fazer


4. Resta Um

Tem uns vendidos na feira de artesanato que tem o tabuleiro em pedra e os pinos são de bola de bude, bila, peteca! Chiquérrrrimos para dar de presente e por na mesa de centro da sala e nem são caros uns 25 reias!





Mas como é um jogo antigo também é vendido em casas de 1.99 que tanto pode jogar sozinho quanto em duplas, vc vai comendo as pinos até conseguir deixar a menor quantidade possível de pinos.




5.Can Can


Can-can é um jogo de cartas da Grow extremamente parecido com o Uno (Mattel) e o conhecido mau-mau (este último é jogado com cartas de baralho de 52 cartas).

eu adorrrrooo jogar isso! Jogo de Carta bom para a família toda, é relativamente barato se comparado a brinquedos de qualidade! Custa em média uns 30 reias, mas vale a pena viu contagia a família toda!



6. Háaa o jogo de cartas 21

Que bate o jogo quem formar 21 ou chegar mais próximo, sem estourar (passar)

7.Rummikub(Grow / 2 a 4 jogadores)Excelente jogo, baseado no jogo de cartas Mexe-Mexe. A base do jogo é o jogo de buraco, mas aqui os jogos não são de ninguém. O desafio é se livrar de suas cartas, conseguindo manter os jogos da mesa sempre coerentes com as regras. Um desafio de raciocínio. As fichas plásticas facilitam os procedimentos. É um dos jogos mais vendidos no mundo

8.*Tô paquerando com esse jogo* Eu querooooooo!

Jenga
Nesse envolvente jogo de destreza da Hasbro, todos vão ficar na ponta da cadeira, ansiosos pelo próximo passo. O desafio é retirar blocos da base para o topo da torre, que vai ficando cada vez mais instável. Sucesso nos Estados Unidos, já apareceu no Brasil com o nome de Torremoto.

9.Vários jogos de tabuleiro tradicionais também ajudam na matématica, nem precisa ser um XADREZ, já vale uma dama, ludo, seí lá aqueles kits de jogos tradicionais que nem são caros mas que refoçam a estratégia e com isso o raciocínio lógico matemático



Diga de Blog que descobri e achei bacana, menções honrosas e agradecimentos: Ludo Mania Os jogos Mais legais