Matemática

ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO

Sendo a, b e c números quaisquer, a sentença matemática que traduz esta operação é:
a - b = c onde, a é o minuendo, b é o subtraendo e c é o resto ou diferença.
No conjunto dos números naturais, para que seja possível efetuarmos a diferença entre dois números, é preciso que o minuendo seja maior que o subtraendo. No nosso exemplo,

a > b

Temos também algumas propriedades aritméticas formais implícitas no algoritmo da subtração:
1) a – a = 0
2) a – b – c = a – (b + c)

A técnica operatória ou algoritmo da subtração sugere que se escreva o subtraendo abaixo do minuendo e se subtraia da direita para a esquerda. Observe o algoritmo da subtração, onde o minuendo é 375 e o subtraendo é 234.

3 7 5
- 2 3 4
1 4 1

Note que as operações realizadas foram:

5 - 4 = 1
70 - 30 = 40
300 - 200 = 100

Perceba que esta é uma operação de subtração simples ou sem recurso.
Vejamos agora um exemplo do algoritmo para uma subtração com recurso, onde o minuendo é 457 e o subtraendo é 273.

3 1
4 5 7
- 2 7 3
1 8 4

Note que as operações realizadas foram:

7 - 3 = 4
50 - 70 = ?
150 - 70 = 80
300 - 200 = 100

Note que o que se faz na subtração é decompor uma dezena em 10 unidades e acrescenta-lás às unidades, ou decompor uma centena em 10 dezenas e acrescenta-las as dezenas, etc.

Quando devemos subtrair?

Em geral, é mais difícil as crianças identificarem a presença da subtração nos problemas.
Qual será a razão dessa dificuldade? A razão está no fato de que, geralmente, associamos a subtração apenas ao ato de retirar, mas há outras duas situações que também estão relacionadas com a subtração: os atos de comparar e de completar.
Vamos exemplificar cada uma das três situações:
· Problemas que envolvem o ato de retirar;
· Problemas que envolvem comparação;
· Problemas que envolvem a idéia de completar.


· Problema que envolve o ato de retirar



"Quando Oswaldo abriu a papelaria, pela manhã, havia 56 cadernos na prateleira. Durante o dia vendeu 13. Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na prateleira?"
Ao resolver este problema pensamos assim: dos 56 cadernos tiramos 13. Para saber quantos ficaram fazemos uma subtração: 56 - 13 = 43.
No final havia 43 cadernos na prateleira



· Problema que envolve comparação



"João pesa 36 quilos e Luís, 70 quilos. Quantos quilos Luís tem a mais que João?"
Esta pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luís é mais pesado que João, queremos saber quantos quilos a mais ele tem. Respondemos a pergunta efetuando uma subtração: 70 - 36 = 34. Luís tem 34 quilos a mais que João.



· Problema que envolve a idéia de completar



"O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43. Quantas faltam?"
Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum, pensamos numa subtração: 60 - 43 = 17. Faltam 17 figurinhas.
Pode ser difícil estabelecer distinção entre estas três situações. De certo modo, elas se confundem, na medida em que todas podem se resolvidas com base na mesma operação: a subtração. Entretanto, há uma diferença sutil entre elas.
Consideremos o primeiro problema. É um caso em que é possível pensar no ato de empilhar 56 cadernos, retirar 13 e contar quantos sobraram. Em problemas deste tipo não há dificuldade para identificar a subtração.
Entretanto, no segundo problema, que significado há em tirar os 36 quilos de João dos 70 quilos de Luís? Concretamente esta operação não pode ser realizada. Podemos apenas efetuar uma comparação dos pesos, verificando quantos quilos "a mais" tem João.
Vamos agora ao problema do álbum de figurinhas. Também não faz sentido tirar 43 figurinhas dos 60 lugares vazios do álbum. Nos problemas desse tipo é comum raciocinar pensando em quanto falta para completar uma certa quantidade: se já possuo 43 figurinhas, quantas faltam para completar 60? Note que a idéia envolvida é a de juntar, acrescentar.
O cálculo pode até ser feito por etapas, para ficar mais fácil:
Tenho 43; junto mais 7, fico com 50; tenho 50; junto mais 10; completo as 60 figurinhas. Ah! preciso de 10 + 7 = 17 figurinhas!
A idéia de completar ou de "quanto falta para" leva naturalmente à adição.
Isto é o que fazem, em geral, os caixas de lojas e os comerciantes, quando dão o troco. Por exemplo, numa compra de 27 reais em que o freguês paga com uma nota de 50 reais, o caixa dá 1 real e diz 28; dá mais 1, e diz 29; dá mais 1 e diz 30; dá mais 10,00, diz 40 e, finalmente, dá mais 10 e diz 50 reais.



Cálculo mental, rascunhos e propriedades da subtração

Podemos pensar assim:


Esta idéia pode ser generalizada deste modo: numa subtração, sempre que o primeiro número é acrescido de uma quantidade qualquer x e o segundo número permanece inalterado, então a diferença é acrescida da mesma quantidade.

A tabela anterior pode ser reescrita de baixo para cima:


Esta idéia pode ser generalizada assim: numa subtração, sempre que o primeiro número é diminuído de uma certa quantidade x e o segundo número permanece inalterado, então a diferença fica diminuída de mesma quantidade x.

Veja outro exemplo de utilização destas propriedades no cálculo mental.

Este cálculo mental baseou-se nesta relação:



Muitas crianças utilizam processos do cálculo mental para efetuar subtrações.

A conta seguinte pode ser encontrada no rascunho de nossos alunos:


Se perguntarmos como fizeram, são capazes de explicar assim:
"Quando eu faço uma subtração vou retirando as quantidades de uma maneira que facilite meu cálculo, até retirar tudo que é preciso."
Neste exemplo o aluno demonstra ter compreendido que retirar 5, retirar 2, 10, e depois retirar 100 é o mesmo que retirar, de uma só vez, 5 + 2 + 10 + 100, isto é, 117.

Este fato pode ser representado com esta igualdade:
{[(305 - 5) - 2 - 10] - 100} = 305 - (5 + 2 + 10 + 100)

Veja este outro exemplo:



Neste caso, o aluno associou à subtração a idéia de completar ("quanto falta para"). Ele fez adições sucessivas ao 114 até chegar no 225 e depois verificou quanto adicionou. No exemplo anterior o raciocínio envolvia subtrações sucessivas.
Estes exemplos mostram que, nos cálculos mentais e nos rascunhos, os alunos e as pessoas em geral, muitas vezes, usam regras criadas por elas próprias. Estas regras apóiam-se em certas propriedades da subtração, que estas pessoas captam das mais diversas maneiras. Analisar e explorar estes recursos espontâneos dos alunos é um excelente exercício, que contribui para uma melhor compreensão dos conceitos e das propriedades das operações!





Utilizando o ábaco para subtrair

Como dissemos no início desta lição, além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair.
Existem duas técnicas que são tradicionalmente apresentadas às crianças em nossas escolas. Alguns professores e professoras preferem uma enquanto outros colegas preferem trabalhar com a outra.
Vamos procurar compreender as duas. Para favorecer esta compreensão é bastante útil usar o ábaco.
Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 e 563:

· representamos o 563 no ábaco





· a seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1




· agora lemos o resultado




É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração:
A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico.
Agora vamos subtrair 431 de 725:

· representamos o 725 no ábaco




· a seguir, das 5 unidades subtraímos 1




· na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3;
por isso desagrupamos uma centena convertendo-a em dez dezenas





· agora, na casa das dezenas, temos 12 bolinhas e podemos retirar 3




· finalmente, das 6 centenas retiramos 4




Só é possível entender este processo de cálculo se entendemos a idéia de agrupamento, presente em nosso sistema de numeração.



A técnica da compensação


A outra técnica usada para subtrair baseias numa propriedade da subtração que é denominada compensação.
Vamos primeiro compreender a propriedade.
Veja o exemplo:
Hilda tem 167 centímetros de altura e Paulo mede 140 centímetros. Logo, Zilda tem 27 centímetros a mais que Paulo.




Se Zilda subir num banco de 30 centímetros de altura e Paulo também subir num banco de 30 centímetros de altura, é claro que Zilda continuará tendo 27 centímetros a mais do que Paulo.




Esta idéia pode ser realizada desta forma: na subtração de dois números, sempre que ambos aumentam do mesmo tanto a diferença entre eles permanece inalterada. Em outras palavras o aumento do primeiro número é compensado pelo aumento do segundo número. Daí o nome: propriedade da compensação.
Assim, por exemplo, a diferença entre 725 e 431 é igual à diferença entre 825 e 531, pois ambos os números foram aumentados em uma centena:




Vamos aplicar a propriedade da compensação para subtrair 431 de 725:


· das 5 unidades subtraímos 1 unidade
· na casa das dezenas não podemos subtrair 3 dezenas de 2 dezenas.
Aplicamos então a propriedade da compensação, aumentando os dois números em uma centena. Entretanto faremos isto de um modo um pouco diferente. Aumentaremos o segundo número, de fato, em uma centena, mas, o primeiro número, aumentaremos em dez dezenas. Podemos proceder assim pois uma centena é igual a dez dezenas.




· agora subtraímos 3 dezenas de 12 dezenas
· finalmente subtraímos 5 centenas de 7 centenas
A compreensão desta técnica, além de apoiar-se na compreensão do nosso sistema de numeração, baseia-se também, como vimos, na compreensão da propriedade da compensação.
A técnica para subtrair é comumente ensinada a partir da segunda série. Nesta época, dificilmente a criança terá condições de compreender a propriedade da compensação. Portanto, pode ser mais adequado o ensino da primeira técnica, porque possibilita a aprendizagem junto com a compreensão dos passos.


Como atividade e também com material de apoio sugerimos, o Material Dourado, E para evitar que este Tema se alongue demais estaremos disponibilizando um link, onde pode-se encontrar um trabalho bastante interessante sobre o Material Dourado.


· Material Dourado



Atividades



1) Utilizando o material Dourado, construa os seguintes números.
a) 2.324
b) 2.932
c) 1.522
d) 2.154
e) 2.324
Agora, destes números, subtraia 1.435.

2) Calcule de quanto, o menor numero de 4 algarismos, supera o maior número de 3 algarismos.
3) A diferença entre dois números é 51. Aumentando-se o minuendo em oito unidades e diminuindo-se o subtraendo de 2 unidades, qual será a nova diferença?
4) A diferença entre dois números é 50. O maior número é o triplo do menor. Quais são os números?
5) A diferença entre dois números é 32 e o subtraendo é 24. Qual o minuendo?
6) Qual o algarismo escondido?

a) 4 X
- X 8
4

b) 1 0 X
- X 5
6 9